Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=1，，．
（Ⅰ）证明：AB⊥A₁C；
（Ⅱ）求二面角A-A₁C-B的正弦值．

Answer

（I）由已知中AB=1，，．我们易得AB⊥AC，又由直三棱柱的几何特征得AA1⊥AB，结合线面垂直的判定定理，可得AB⊥平面AA1C，进而根据线面垂直的性质，即可得到AB⊥A1C；
（Ⅱ）取A1C中点D，连AD，BD，由已知易得AD⊥A1C，结合三垂线定理，我们可得∠BDA为二面角A-A1C-B的平面角，解三角形BDA，即可求出二面角A-A1C-B的正弦值．
【解析】
（Ⅰ）在△ABC中，AB=1，，
∴AB⊥AC，又AA1⊥AB，则AB⊥平面AA1C
∵A1C在平面ABC内的射影为AC，∴AB⊥A1C              …（6分）
（Ⅱ）取A1C中点D，连AD，BD∵AA1=AC=
∴AD⊥A1C，且，
由三垂线定理得 BD⊥A1C
∴∠BDA为二面角A-A1C-B的平面角．
∴，∴
∴二面角A-A1C-B的正弦值为．                 …（12分）