Question

已知函数f（x）=x（x-a）（x-b）．
（Ⅰ）若a=0，b=3，函数f（x）在（t，t+3）上既能取到极大值，又能取到极小值，求t的取值范围；
（Ⅱ）当a=0时，对任意的x∈[2，+∞）恒成立，求b的取值范围．

Answer

（I）根据条件写出函数和导函数，即在x=2处取得极小值．函数f（x）在（t，t+3）上既能取到极大值，又能取到极小值，写出关于t的不等式，解出结果．
（II）写出要用的函数式，根据条件中的恒成立问题，得到x2-bx+1≥0对任意的x∈[2，+∞）恒成立，看出函数的单调性，根据最值之间的关系写出结果．
【解析】
（Ⅰ）当a=0，b=3时，f（x）=x3-3x2，f'（x）=3x2-6x，
令f'（x）=0得x=0，2，根据导数的符号可以得出函数f（x）在x=0处取得极大值，
在x=2处取得极小值．函数f（x）在（t，t+3）上既能取到极大值，又能取到极小值，
则只要t＜0且t+3＞2即可，即只要-1＜t＜0即可．
所以t的取值范围是（-1，0）．                                   
（Ⅱ）当a=0时，对任意的x∈[2，+∞）恒成立，
即x2-bx+1≥0对任意的x∈[2，+∞）恒成立，
也即在对任意的x∈[2，+∞）恒成立．    
令，则．
则函数在x∈[2，+∞）上单调递增，
当x=2时取最小值，故只要即可．
所以b的取值范围是．