Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx的图象过点（-4n，0），且f'（0）=2n，n∈N^*．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若数列a_n满足，且a₁=4，求数列a_n的通项公式；
（Ⅲ）记，数列b_n的前n项和T_n，求证：．

Answer

（I）根据二次函数f（x）=ax2+bx的图象过点（-4n，0），且f'（0）=2n建立方程组，解之即可求出f（x）的解析式；
（II）由条件得，然后利用累加得的通项公式，从而求出an的通项公式；
（III）先根据条件求出bn的通项公式，然后利用裂项求和法进行求和求出Tn，而2n+1≥3，从而证得．
【解析】
（I）由
解之得
（II）由条件得，
∴，累加得；
∴（n≥2）
当n=1时，a1=2≠4不满足上面的通项公式
则
（III）

∵