Question

给定椭圆，称圆心在坐标原点x∈[2，6]，半径为的圆是椭圆m的“伴随圆”． 若椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到F₂距离为．
（Ⅰ）求椭圆C及其“伴随圆”的方程；
（Ⅱ）若过点P（0，m）（m＜0）的直线l与椭圆C只有一个公共点，且l截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为，求m的值；
（Ⅲ）过椭圆C“伴椭圆”上一动点Q作直线l₁，l₂，使得l₁，l₂与椭圆C都只有一个公共点，试判断直线l₁，l₂的斜率之积是否为定值，并说明理由．

Answer

（Ⅰ）直接根据条件求出，半焦距，得到椭圆方程，进而根据定义求出其“伴随圆”的方程；
（Ⅱ）先设出直线方程，与椭圆方程联立，根据直线l与椭圆C只有一个公共点得到k，m之间的关系；再结合l截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为，即可求m的值；
（Ⅲ）设出过点Q（x，y），与椭圆只有一个公共点的直线方程，联立直线方程与椭圆方程根据交点只有一个，得到关于k与点Q坐标之间的等式，最后再结合Q在伴椭圆上即可的出结论．
【解析】
（Ⅰ）由题意得：，半焦距
则b=1椭圆C方程为
“伴随圆”方程为x2+y2=4…（4分）
（Ⅱ）则设过点P且与椭圆有一个交点的直线l为：y=kx+m，
则整理得（1+3k2）x2+6kmx+（3m2-3）=0
所以△=（6km）2-4（1+3k2）（3m2-3）=0，解3k2+1=m2①…（6分）
又因为直线l截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为，
则有化简得m2=2（k2+1）②…（8分）
联立①②解得，k2=1，m2=4，
所以k=±1，m=-2（∵m＜0），则P（0，-2）…（10分）
（Ⅲ）当l1，l2都有斜率时，设点Q（x，y），其中x2+y2=4，
设经过点Q（x，y），与椭圆只有一个公共点的直线为y=k（x-x）+y，
由，消去y得到x2+3[kx+（y-kx）]2-3=0…（12分）
即（1+3k2）x2+6k（y-kx）x+3（y-kx）2-3=0，
△=[6k（y-kx）]2-4•（1+3k2）[3（y-kx）2-3]=0，
经过化简得到：（3-x2）k2+2xyk+1-y2=0，…（14分）
因为x2+y2=4，所以有（3-x2）k2+2xyk+（x2-3）=0，
设l1，l2的斜率分别为k1，k2，
因为l1，l2与椭圆都只有一个公共点，
所以k1，k2满足方程（3-x2）k2+2xyk+（x2-3）=0，
因而k1•k2=-1，即直线l1，l2的斜率之积是为定值-1…（16分）