Question

设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=x
（1）若x＞0，求证：
（2）是否存在实数m，使函数h（x）=-f（x²）-m恰有四个不同的零点？若存在求出的m范围；若不存在，说明理由．

Answer

（1）构造函数F（x），求出F（x）的导函数，判断出导函数在[0，+∞）大于0恒成立，求出F（x）的最小值，证出不等式．
（2）求出h（x）的导函数，令导函数为0，求出三个极值点，为函数有四个不同的零点，令h（1）＜0，h（0）＞0，h（-1）＜0求出m的范围．
【解析】
（1）证明：令
∴
易知F（X）在[0，+∞）为增函数，
所以F（X）＞F（0）=0
即
（2）由h′（x）=0得x=-1，0，1，
再由h（1）＜0，h（0）＞0，h（-1）＜0
易得时，函数恰有四个不同的零点