Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＜0，|φ|＜）的部分图象如图所示．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）当g（x）=f（x）-2cos2x时，如何由函数y=sinx的图象通过适当的变换得到函数y=g（x）的图象，写出变换过程．

Answer

（Ⅰ）欲求函数f（x）的解析式，需找到A，ω，φ的值，A是振幅，是图象离开平衡位置的最大位移，由图象可知；ω与函数周期有关，周期T=，根据图象找到周期，可得ω的值，再代一点，就可求出∅值．
（Ⅱ）先求出g（x）的解析式，把y=sinx的图象向右平移得到y=sin（x-）的图象；再把sin（x-）图象上所有点的坐标缩短为原来的纵坐标不变得到y=sin（2x-）的图象；把y=sin（2x-）的图象上所有点的纵坐标扩大为原来的，纵坐标不变得到y=2sin（2x-）的图象．
【解析】
（Ⅰ）由图象知A=2，f（x）的最小正周期T=4×（-）=π，∴ω=2
将点（，2）代入得sin（+φ）=1，又，|φ|＜，∴φ=
故函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+）
（Ⅱ）g（x）=2sin（2x+）-2cos2x=sin2x-cos2x=2sin（2x-）
变换如下：把y=sinx的图象向右平移得到y=sin（x-）的图象；再把sin（x-）
图象上所有点的横坐标缩短为原来的纵坐标不变得到y=sin（2x-）的图象；
把y=sin（2x-）的图象上所有点的纵坐标扩大为原来的2倍，横坐标不变得到y=2sin（2x-）的图象．