Question

已知f是直角坐标平面xOy到自身的一个映射，点P在映射f下的象为点Q，记作Q=f（P）．
设P₁（x₁，y₁），P₂=f（P₁），P₃=f（P₂），…，P_n=f（P_n-1），…．如果存在一个圆，使所有的点P_n（x_n，y_n）（n∈N^*）都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点P_n（x_n，y_n）的一个收敛圆．特别地，当P₁=f（P₁）时，则称点P₁为映射f下的不动点．
（Ⅰ） 若点P（x，y）在映射f下的象为点Q（2x，1-y）．
①求映射f下不动点的坐标；
②若P₁的坐标为（1，2），判断点P_n（x_n，y_n）（n∈N^*）是否存在一个半径为3的收敛圆，并说明理由．
（Ⅱ） 若点P（x，y）在映射f下的象为点，P₁（2，3）．求证：点P_n（x_n，y_n）（n∈N^*）存在一个半径为的收敛圆．

Answer

（Ⅰ）①设不动点的坐标为P（x，y），依据对应关系及不动点的定义，列解方程组 ，并解即可．
②由P1（1，2），得P2（2，-1），P3（4，2），P4（8，-1）所以|P1P4|=＞6，则点P1，P4不可能在同 一个半径为3的圆内
（Ⅱ） 由Pn+1=f（Pn），得，构造两个等比数列 写出它们的通项公式，设A（3，1），，计算Pn到A的距离，可得此距离小于，故所有的点Pn（n∈N*）都在以 P为圆心，为半径的圆内．
【解析】
（Ⅰ）①【解析】
设不动点的坐标为P（x，y），
 由题意，得，
所以映射f下不动点为
②结论：点Pn（xn，yn）不存在一个半径为3的收敛圆．
  证明：由P1（1，2），得P2（2，-1），P3（4，2），P4（8，-1），
   所以|P1P4|=＞6，
   则点P1，P4不可能在同 一个半径为3的圆内，
   所以点Pn（xn，yn）（n∈N*） 不存在一个半径为3的收敛圆
 （Ⅱ）证明：由P1（2，3），得．
由Pn+1=f（Pn），得
所以xn+1+yn+1=xn+1，xn+1-yn+1=yn+1，
   由Pn+2=f（Pn+1），得，
  所以xn+2=
  即xn+2-3=，
  由x1-3≠0，x2-3≠0，得xn-3≠0，
同理yn-1≠0，
  所以，
  所以数列{x2n-1-3}，{x2n-3}（n∈N*）都是公比为的等比数列，首项分别为   ，
  所以，
 同理可得
 所以对任意n∈N*，|xn-3|≤1，|yn-1|≤2，
 设A（3，1），则|APn|=，
  所以|APn|≤，
 故所有的点Pn（n∈N*）都在以A（3，1）为圆心，为半径的圆内或圆上，
  即点Pn（xn，yn）存在一个半径为的收敛圆