Question

已知函数f（x）=x+（a≠0），过P（1，0）作f（x）图象的切线l．
（1）当a=-2时，求出所有切线l的方程．
（2）探求在a≠0的情况下，切线l的条数．
（3）如果切线l有两条，切点分别为M₁（x₁，x₂），M₂（x₂，y₂），求g（a）=|M₁M₂|的解析式．

Answer

（1）当a=-2时，得出函数的解析式，验证知点P不在曲线上，故设出切点M（x，y），求出此点的导数写出点斜式方程，再由此点在曲线上，代入曲线方程，两个方程联立求出切点的横坐标即可以求出切线的斜率由此即得所有切线l的方程；
（2）求出导数，根据参数a的取值范围对导数有解的情况进行分析，有几个解则有几条切线；
（3）如果切线l有两条，切点分别为M1（x1，x2），M2（x2，y2），则x1，x2满足方程x2+2ax-a=0，由此可以求得两点横坐标的和与积，再用两点间距离公式求出g（a）的表达式将两根之和与两根之积代入即可．|
【解析】
（1）．当a=-2时，f（x）=x+，所以P不在f（x）的图象上，设切点为M（x，y）
∵f′（x）=1+，∴f′（x）=1+=k=，
又y=x+，代入整理得：x2-4x+2=0，即x=，
∴f′（x）=1+=1+
∴切线l的方程：y=（1+）（x-1）
（2）．f′（x）=1-
只有当a=-1时，点P在f（x）的图象上，
∴只有当a=-1时，P可以是切点且l的方程：y=2x-2．
当P是不是切点时，设切点为M（x，y），x≠0，
∵f′（x）=1-，∴f′（x）=1-=k=，
又y=x+，代入整理得：x2+2ax-a=0，，┉①
△=4a2+4a，经检验，x=1不满足方程．
当a＞0或a＜-1时，△＞0，切点有两个；
当-1＜a＜0时，△＜0，没有切点；
综上所述：
当-1＜a＜0时，没有切线l存在；
当a=-1时，只有一条切线l；
当a＞0或a＜-1时，有两条切线l存在
（3）由（2）问可知，当a＞0或a＜-1时，有两条切线l存在．
由①式可知：x1，x2满足方程x2+2ax-a=0，
即x1+x2=-2a，x1x2=-a
∵y1=x1+，y2=x2+
∴g（a）=\M1M2\==
===2
∴g（a）=2，a＞0或a＜-1