设函数f（x）在（-∞，+∞）上满足f（2-x）=f（2+x），f（7-x）=f...

设函数f（x）在（-∞，+∞）上满足f（2-x）=f（2+x），f（7-x）=f（7+x），且在闭区间[0，7]上，只有f（1）=f（3）=0．
（Ⅰ）试判断函数y=f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）试求方程f（x）=0在闭区间[-2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论．

（I）利用条件先求出函数的周期，再求出f（-3）=f（7）≠0，而f（3）=0，f（-3）≠-f（3）根据奇偶性的定义可知该函数为非奇非偶函数；（2II）根据周期函数性质可知，只需求出一个周期里的根的个数，可求得f（x）在[0，10]和[-10，0]上均有有两个解，从而可知函数y=f（x）在[0，2005]上有402个解，在[-2005.0]上有400个解．【解析】由⇒⇒f（4-x）=f（14-x）⇒f（x）=f（x+10），又f（3）=0，而f（7）≠0，⇒f（-3）=f（7）≠0⇒f（-3）≠f（3），f（-3）≠-f（3）故函数y=f（x）是非奇非偶函数；（II）由⇒⇒f（4-x）=f（14-x）⇒f（x）=f（x+10）又f（3）=f（1）=0⇒f（11）=f（13）=f（-7）=f（-9）=0 因为在闭区间[0，7]上，只有f（1）=f（3）=0，故在[4，7]上无零点，又f（7-x）=f（7+x），故在[7，10]上无零点，故在[0，10]上仅有两个解故f（x）在[0，10]和[-10，0]上均有有两个解，从而可知函数y=f（x）在[0，2005]上有402个解，在[-2005.0]上有400个解，所以函数y=f（x）在[-2005，2005]上有802个解．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等