Question

给出下列四个结论：
①当a为任意实数时，直线（a-1）x-y+2a+1=0恒过定点P，则过点P且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是；
②已知双曲线的右焦点为（5，0），一条渐近线方程为2x-y=0，则双曲线的标准方程是；
③抛物线；
④已知双曲线，其离心率e∈（1，2），则m的取值范围是（-12，0）．
其中所有正确结论的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer

对于①，先救出直线恒过的定点，再求出符合条件的抛物线方程，判断得①正确；②中根据渐近线方程求得a和b的关系进而根据焦距求得a和b，椭圆方程可得．③把抛物线方程整理成标准方程，进而根据抛物线的性质可得抛物线的准线方程．④根据离心率的范围求得m的取值范围判断④正确．
【解析】
①整理直线方程得（x+2）a+（1-x-y）=0，可知直线（a-1）x-y+2a+1=0恒过定点P（-2，3），故符合条件的方程是 ，则①正确；
②依题意知 =2，a2+b2=25，得a=，b=2 ，则双曲线的标准方程是，故可知结论②正确．
③抛物线方程得x2=y，可知准线方程为 ，故③正确．
④离心率1＜e=＜2，解得-12＜m＜0，又m＜0，，故m的范围是-12＜m＜0，④正确，
故其中所有正确结论的个数是：4
故选D．