Question

如图，O（0，0）A（1，0）为顶点作△OAP₁，再以P₁和P₁A的中B为顶点作△P₁BP₂，再P₂和P₂B的中C为顶点作△P₂CP₃，…，如此继续下去．有如下结论：
①所作的正三角形的边长构成公比为的等比数列；
②每一个正三角形都有一个顶点在直线AP₂x=1）上；
③第六个正三角形的不在第五个正三角形边上的顶点P₆的坐标是；
④第n个正三角形的不在第n-1个正三角形边上的顶点P_n的横坐标是x_n，则．
其中正确结论的序号是    （把你认为正确结论的序号都填上）．

Answer

根据O（0，0）A（1，0）为顶点作△OAP1，再以P1和P1A的中B为顶点作△P1BP2，再P2和P2B的中C为顶点作△P2CP3，…，如此继续下去，根据规律可判定①②的真假，结合图形求出点P6的坐标，可判定③的真假，求出第n个正三角形的不在第n-1个正三角形边上的顶点Pn的横坐标xn，xn=1-，然后求极限可得结论．
【解析】
由题意可得，每一个正三角形的边长都是上个三角形的边长的，故①正确；
根据图形的规律可知每一个正三角形都有一个顶点在直线AP2x=1上，故②正确；
第六个正三角形的边长为，故顶点P6的横坐标为，P5的纵坐标为--=
从而顶点P6的纵坐标为+=，故③正确；
第n个正三角形的不在第n-1个正三角形边上的顶点Pn的横坐标是xn，xn=1-，则，故④正确．
故答案为：①②③④