Question

已知向量=（cos x，0），=（0，sin x），记函数f（x）=（+）²+sin 2x，
（1）求函数f（x）的最小值及取最小值x的集合；
（2）若将函数f（x）的图象按向量平移后，得到的图象关于坐标原点中心对称且在[0，]上单调递减，求长度最小的．

Answer

（1）根据平面向量数量积的运算，化简f（x）=2cos（2x-）+2，再根据三角函数性质求解．
（2）设=（m，n），先求出函数f（x） 的图象平移后对应的函数g（x），根据中心对称性求出m，n的值或表达式．再结合条件要求确定长度最小的．
【解析】
（1）∵f（x）=（+）2+sin 2x=3cos2x+sin2x+sin2x=2cos（2x-）+2       …（3分）
∴f（x）≥0，当且仅当2x-=2kπ+π，即x=kπ+，k∈Z时取到等号．
∴函数f（x）的最小值是0，此时x的集合是{x|x=kπ+，k∈Z}         …（6分）
（2）设=（m，n），函数f（x） 的图象平移后对应的函数为g（x），则g（x）=2cos[2（x-m）-]+2+n
由题意函数g（x）的图象关于坐标原点中心对称，得
cos[2（0-m）-]=0，且2+n=0，解得m=kπ+，k∈Z，且n=-2             …（8分）
①当m=kπ+，k∈Z时，g（x）=2cos（2x-）=2sin 2x，在[0，]上单调递增，不符合题意，舍去；
②当m=kπ+，k∈Z时，g（x）=2cos（2x+）=-2sin 2x，在[0，]上单调递减，符合题意．…（10分）
∴=（ kπ+，-2），k∈Z【若求出的结果是（kπ+，-2），给（10分）】
∴长度最小的=（-，-2）…（12分）