Question

如图，D、E分别是正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱AA₁、BB₁的中点，且棱AA₁=8，AB=4．
（Ⅰ）求证：A₁E∥平面BDC₁；
（Ⅱ）在棱AA₁上是否存在一点M，使二面角M-BC₁-B₁的大小为60°，若存在，求AM的长；若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）在线段BC1上取中点F，连接EF、DF，可得EF∥DA1，且EF=DA1，所以四边形EFDA1是平行四边形，所以A1E∥FD，再结合线面平行的判定定理可得线面平行．
（II）由题意可得：A1E⊥平面CBB1C1．过点E作EH⊥BC1与H，连接A1H，则∠A1HE为二面角A1-BC1-B1的平面角，再利用解三角形的有关知识得到此角大于60°，进而得到结论．
【解析】
（Ⅰ）在线段BC1上取中点F，连接EF、DF，
所以EF∥DA1，且EF=DA1，
∴四边形EFDA1是平行四边形…2′
∴A1E∥FD，又A1E⊄平面BDC1，FD⊂平面BDC1，
∴A1E∥平面BDC1．…4′
（II）由A1E⊥B1C1，A1E⊥C1C，可得A1E⊥平面CBB1C1．
过点E作EH⊥BC1与H，连接A1H，
则∠A1HE为二面角A1-BC1-B1的平面角，
在Rt△BB1C1中，由BB1=8，B1C1=4可得BC1边上的高为，
所以EH=，
又A1E=2，
所以tan∠A1HE=，
所以∠A1HE＞60°．
所以M在棱AA1上时，二面角M-BC1-B1总大于60°．
故棱AA1上不存在使二面角M-BC1-B1的大小为60°的点M．…12′