Question

已知函数f（x）=x²-x+2，数列{a_n}满足递推关系式：a_n+1=f（a_n），n≥1，n∈N，且a₁=1．
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）用数学归纳法证明：当n≥5时，a_n＜2-；
（3）证明：当n≥5时，有．

Answer

（1）由题意，先得数列的递推关系式为，再依次代入可求a2，a3，a4的值；
（2）先证明当n=5时，结论成立；再假设结论对n=k（k≥5）成立，利用函数在x＞1时为增函数，，可以证得当n=k+1时结论也成立．从而命题成立；
（3）由数列的递推关系式为，可得，利用裂项法求和，问题可证．
【解析】
（1）根据a1=1及计算易得       …（3分）
（2）证明：①，
而＞，故a5＜2，即当n=5时，结论成立．…（5分）
②假设结论对n=k（k≥5）成立，．
因≥，而函数在x＞1时为增函数，所以
，
即当n=k+1时结论也成立．
综合①、②可知，不等式对一切n≥5都成立．…（9分）
（3）由可得，而a1=1，于是         …（11分）

于是当n≥5时，，故所以．…（14分）