Question

一个三棱柱ABC-A₁B₁C₁直观图和三视图如图所示（主视图、俯视图都是矩形，左视图是直角三角形），设E、F分别为AA₁和B₁C₁的中点．

（Ⅰ）求几何体ABC-A₁B₁C₁的体积；
（Ⅱ）证明：A₁F∥平面EBC₁；
（Ⅲ）证明：平面EBC⊥平面EB₁C₁．

Answer

（Ⅰ）求出几何体ABC-A1B1C1的高和底面面积，即可求出几何体的体积；
（Ⅱ）取BC1的中点M，连EM，FM，证明A1F∥EM，说明EM⊂平面EBC1，A1F⊄平面EBC1，即可证明A1F∥平面EBC1；
（Ⅲ）证明BE⊥B1E，B1C1⊥BE，B1E∩B1C1=B1，即可证明平面EBC⊥平面EB1C1．
（本小题满分14分）
【解析】
（Ⅰ）由题可知，三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，B1B⊥底面ABC，
且底面△ABC是直角三角形，AB⊥BC，，…（2分）
三棱柱ABC-A1B1C1的体积．…（4分）
（Ⅱ）证明：取BC1的中点M，连EM，FM，…（5分）∵E、F分别为AA1和B1C1的中点，∴，，，…（12分）∴四边形MFA1E为平行四边形，∴A1F∥EM，…（7分）
又EM⊂平面EBC1，A1F⊄平面EBC1，∴A1F∥平面EBC1．                …（9分）
（Ⅲ）∵三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，B1B⊥底面ABC，∴BE2=AB2+AE2=2，∴B1E2=A1B12+A1E2=2，又BB1=2，∴BE2+B1E2=BB12，∴BE⊥B1E…（10分）
又平面AA1B1B，∴B1C1⊥BE…（12分）
由BE⊥B1E，B1C1⊥BE，B1E∩B1C1=B1，得BE⊥平面EB1C1，
又BE⊂平面EBC，∴平面EBC⊥平面EB1C1．                 …（14分）