Question

已知数列{a_n}满足：．
（Ⅰ）问数列{a_n}是否为等差数列或等比数列？说明理由；
（Ⅱ）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（Ⅲ）设，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer

（Ⅰ）由已知，求出a1=1，a2=3，a3=5，a4=8后容易判断出{an}既不为等差数列也不为等比数列．
（Ⅱ）（解法一）对任意正整数n，2 n+1是偶数，得出，所以数列是首项为，公差为的等差数列，求出通项公式后再求出数列的通项公式（解法二）因为对任意正整数n，，得，
所以数列是每项均为0的常数列，即可得出数列的通项公式
（Ⅲ） （解法一）设数列{（n+1）qn}的前n项和为Tn，则当n∈N*，q≠1，q≠0时，Tn（q）=2q+3q2+4q3+…+nqn-1+（n+1）qn，利用错位相消法求和．（Ⅱ）利用待定系数法得．
【解析】
（Ⅰ），，，．…（3分）
因为a3-a2=2，a4-a3=3，a3-a2≠a4-a3，所以数列{an}不是等差数列．
又因为，所以数列{an}也不是等比数列．…（5分）
（Ⅱ）（解法一）因为对任意正整数n，，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，…（7分）
从而对．
所以数列的通项公式是．…（9分）
（解法二）因为对任意正整数n，，
得，
所以数列是每项均为0的常数列，
从而对，
所以数列的通项公式是．…（7分），，
所以数列是首项为，公差为的等差数列．…（9分）
（Ⅲ）∀n∈N*，n≥2，，也适合上式．
所以数列{bn}的通项公式为．…（11分）
（解法一）设数列{（n+1）qn}的前n项和为Tn，则当n∈N*，q≠1，q≠0时，Tn（q）=2q+3q2+4q3+…+nqn-1+（n+1）qn，qTn（q）=2q2+3q3+4q4+…+nqn+（n+1）qn+1，．…（12分）
∵，∴
∴．…（14分）
（解法二）利用待定系数法可得：对∀n∈N*，有，
（n+1）2n-3=2n×2n-3-2（n-1）2n-4，…（12分）
从而，，…（13分）
所以．…（14分）