Question

如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，AA₁=8．
（1）求异面直线B₁C与A₁C₁所成角的大小；（用反三角函数形式表示）
（2）若E是线段DD₁上（不包含线段的两端点）的一个动点，请提出一个与三棱锥体积有关的数学问题（注：三棱锥需以点E和已知正四棱柱八个顶点中的三个为顶点构成）；并解答所提出的问题．

Answer

（1）连接AC、AB1，易知∠B1CA为异面直线B1C与A1C1所成角，在△B1CA中利用余弦定理解之即可即可求出异面直线B1C与A1C1所成角的大小；
（2）本小题是开放题，第一种：提出问题：证明三棱锥E-B1BC的体积为定值，根据三棱锥E-B1BC与三棱锥D-B1BC同底等高可得结论．
第二种：提出问题：三棱锥E-ADC的体积在E点从点D运动到D1过程中单调递增，根据三棱锥E-ADC的体积与DE成正比，可知VE-ADC随着DE增大而增大可得结论．
【解析】
（1）如图，连接AC、AB1，由，
知A1ACC1是平行四边形，则，
所以∠B1CA为异面直线B1C与A1C1所成角．-----（2分）
在△B1CA中，，，
则，
所以．----------（4分）

（2）若学生能提出一些质量较高的问题，则相应给（3分），有解答的再给（5分）．
而提出一些没有多大价值的问题则不给分．
若提出的问题为以下两种情况，可以相应给分．
第一种：
提出问题：证明三棱锥E-B1BC的体积为定值．-----（3分）
问题解答：如图，因为DD1∥平面B1BCC1，所以D1D上任意一点到平面B1BCC1的距离相等，因此三棱锥E-B1BC与三棱锥D-B1BC同底等高，．----------（3分）
而，
所以三棱锥E-B1BC的体积为定值．----------（2分）
说明：1）若提出的问题为求三棱锥E-B1BC的体积，则根据上述解答相应给分．
2）若在侧面B1BCC1上任取三个顶点，与点E构成三棱锥时，结论类似，可相应给分．
若在侧面A1ABB1上任取三个顶点，与点E构成三棱锥时，结论类似，可相应给分．
第二种：
提出问题：三棱锥E-ADC的体积在E点从点D运动到D1过程中单调递增．-----（3分）
问题解答：因为，知S△ADC为定值，
则三棱锥E-ADC的体积与DE成正比，可知VE-ADC随着DE增大而增大，又因为DE∈（0，8），----（3分）
即三棱锥E-ADC的体积在E点从点D运动到D1过程中单调递增．-----（2分）
说明：1）若提出的问题是求三棱锥E-ADC的体积范围，也可相应给分．
解答：因为S△ADC=8，而，DE∈（0，8），----（3分）
则．----（2分）．

2）若在底面ABCD上任取三个顶点，与点E构成三棱锥时，结论类似，可相应给分．
若在底面A1B1C1D1上任取三个顶点，与点E构成三棱锥时，结论类似（单调递减），
可相应给分．