Question

设过抛物线y²=4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，且AB中点为M，则点M的轨迹方程是    ．

Answer

先根据抛物线方程求得焦点坐标，进而设出过焦点弦的直线方程，与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2，进而根据直线方程求得y1+y2，进而求得焦点弦的中点的坐标的表达式，消去参数k，则焦点弦的中点轨迹方程可得．
【解析】
由题知抛物线焦点为（1，0）
设焦点弦方程为y=k（x-1）
代入抛物线方程得所以k2x2-（2k2+4）x+k2=0
由韦达定理：
x1+x2=
所以中点M横坐标：x==
代入直线方程，中点M纵坐标：
y=k（x-1）=．即中点M为（ ，）
消参数k，得其方程为：y2=2x-2，
当线段PQ的斜率存在时，线段PQ中点为焦点F（1，0），满足此式，
故答案为：y2=2（x-1）