Question

设向量，（n为正整数），函数在[0，1]上的最小值与最大值的和为a_n，又数列{b_n}满足：．
（1）求证：a_n=n+1（2）．
（2）求b_n的表达式．
（3）若c_n=-a_n•b_n，试问数列{c_n}中，是否存在正整数k，使得对于任意的正整数n，都有c_n≤c_k成立？证明你的结论．（注：与表示意义相同）

Answer

（1）对称轴，所以y=x2+（n+4）x-2在[0，1]上为增函数，故可证；
（2）由数列{bn}满足的条件，再写一式，两式相减可求；
（3）设存在自然数k，使对n∈N，cn≤ck恒成立，易得当n＜8时，cn+1＞cn，当n=8时，cn+1=cn，当n＞8时，cn+1＜cn故得解．
【解析】
（1）证明：对称轴，所以y=x2+（n+4）x-2在[0，1]上为增函数---（2分）
an=（-2）+（n+3）=n+1--（4分）
（2）【解析】
由，
得，（n-1）b1+（n-2）b2+…+bn-1=两式相减，
得
∴当n=1时，b1=S1=1

（3）由（1）与（2）得
设存在自然数k，使对n∈N，cn≤ck恒成立
当n=1时，
当n≥2时，，
∴当n＜8时，cn+1＞cn
当n=8时，cn+1=cn，当n＞8时，cn+1＜cn
所以存在正整数k=9，使对任意正整数n，均有c1＜c2＜…＜c8=c9＞c10＞c11＞…