Question

（理）设斜率为k₁的直线L交椭圆C：于A、B两点，点M为弦AB的中点，直线OM的斜率为k₂（其中O为坐标原点，假设k₁、k₂都存在）．
（1）求k₁⋅k₂的值．
（2）把上述椭圆C一般化为
（a＞b＞0），其它条件不变，试猜想k₁与k₂关系（不需要证明）．请你给出在双曲线（a＞0，b＞0）中相类似的结论，并证明你的结论．
（3）分析（2）中的探究结果，并作出进一步概括，使上述结果都是你所概括命题的特例．
如果概括后的命题中的直线L过原点，P为概括后命题中曲线上一动点，借助直线L及动点P，请你提出一个有意义的数学问题，并予以解决．

Answer

（1）设直线方程为y=k1x+b，代入椭圆方程，根据方程的根与系数关系求弦中点M的坐标为，代入可得，从而可求
（法二）（利用点差法）设点A（x1，y1），B（x2，y2），中点M（x，y），由与作差得 =可求
（2）已知斜率为K1的直线L交双曲线（a＞0，b＞0）于A，B两点，点M 为弦AB的中点，直线OM的斜率为k2（其中O为坐标原点，假设K1、k2都存在）．
则k1，k2⋅的值为
（解一）设直线方程为y=k1x+d，代入（（a＞0，b＞0）方程并整，根据方程的根与系数的关系代入可求
（解二）设点A（x1，y1），B（x2，y2），中点中点M（x，y）由点A，B在双曲线上，则利用点差法可求
（3）对（2）的概括：设斜率为k1的直线L交二次曲线C：mx2+ny2=1（mn≠0）于A，B两点，点M为弦AB的中点，直线OM的斜率为k2（其中O为坐标原点，假设k1，k2、都存在），则．
（解一）：（1）设直线方程为y=k1x+b，代入椭圆方程并整理得：（1+2k12）x2+4k1bx+2b2-2=0，（2分）
，又中点M在直线上，所以
从而可得弦中点M的坐标为，，所以．（4分）
（解二）设点A（x1，y1），B（x2，y2），中点M（x，y） 则，
=，   （2分）
又与作差得  =
所以             （4分）
（2）对于椭圆，  （6分）
已知斜率为K1的直线L交双曲线（a＞0，b＞0）于A，B两点，点M 为弦AB的中点，直线OM的斜率为k2（其中O为坐标原点，假设K1、k2都存在）．
则k1，k2⋅的值为． （8分）
（解一）设直线方程为y=k1x+d，代入（（a＞0，b＞0）方程并整理得：（b2-a2k12）x2-2k1a2dx-（ad）2-（ab）2=0
，
所以==， （2分），即     （10分）
（解二）设点A（x1，y1），B（x2，y2），中点中点M（x，y）
则，，=， （2分）
又因为点A，B在双曲线上，则
与作差得
==k1k2    即 （10分）
（3）对（2）的概括：设斜率为k1的直线L交二次曲线C：mx2+ny2=1（mn≠0）于A，B两点，点M为弦AB的中点，直线OM的斜率为k2（其中O为坐标原点，假设k1，k2、都存在），则．（12分）
提出问题与解决问题满分分别为（3分），提出意义不大的问题不得分，解决问题的分值不得超过提出问题的分值．
提出的问题例如：直线L过原点，P为二次曲线线mx2+ny2=1（mn≠0）上一动点，设直线L交曲线于A，B两点，当P异于A，B两点时，如果直线PA，PB的斜率都存在，则它们斜率的积为与点P无关的定值．（15分）
解法1：设直线方程为y=kx，A，B两点坐标分别为（x1，y1）、（-x1，-y1），则y1=kx1
把y=kx代入mx2+ny2=1得（m+nk2）x2=1，
KPA•KPB==，
所以KPA•KPB===（18分）
提出的问题的例如：直线L：y=x，P为二次曲线mx2+ny2=1（mn≠0）上一动点，设直线L交曲线于A，B两点．试问使∠APB=30°的点P是否存在？（13分）
问题例如：1）直线L过原点，P为二次曲线线mx2+ny2=1（mn≠0）上一动点，设直线L交曲线于A，B两点，求PA+PB的值．
2）直线l过原点，P为二次曲线mx2+ny2=1（mn≠0）上一动点，设直线L交曲线于A，B两点，求S△PAB的最值．