Question

在△ABC中，三个内角是A，B，C的对边分别是a，b，c，其中c=10，且
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）设圆O过A，B，C三点，点P位于劣弧AC上，∠PAB=60°，求四边形ABCP的面积．

Answer

（1）由题设条件利用正弦定理可得，整理得讨论知，A=B或者A+B=又，所以A+B=
由此可以得出，△ABC是直角三角形；
（2）将四边形ABCP的面积表示成两个三角形S△ABC与S△PAC的和，S△ABC易求，S△PAC需求出线段PA的长度与sin∠PAC的值，利用三角形的面积公式求解即可．
【解析】
（1）证明：根据正弦定理得，
整理为：sinAcosA=sinBcosB，即2sinA=sin2B，
因为0＜A＜π，0＜B＜π，所以0＜2A＜2π，0＜2B＜2π，所以A=B，或者A+B=
由于，
故△ABC是直角三角形．
（2）由（1）可得：a=6，b=8．
在Rt△ABC中，sin∠CAB==，cos∠CAB=
sin∠PAC=sin（60°-∠CAB）
=sin60°cos∠CAB-cos60°sin∠CAB
=
连接PB，在Rt△APB中，AP=AB•cos∠PAB=5．
所以四边形ABCP的面积
S四边形△ABCP=S△ABC+S△PAC
=
=