Question

已知函数的图象在点P（2，f（2））处的切线方程为l：y=x+b
（1）求出函数y=f（x）的表达式和切线l的方程；
（2）当时（其中e=2.71828…），不等式f（x）＜k恒成立，求实数k的取值范围．

Answer

（I）对函数求导，求出当自变量等于2时的函数值，求出函数在这一点的切线的斜率，根据点斜式写出切线的方．
（II）根据上一问做出的函数的解析式，对函数求导．使得导数等于0，做出函数的随x的变化，f（x），f′（x）的变化情况，看出函数的最值，得到要求的结果
【解析】
（I）∵
∴，a=2，
∴，f（2）=2-2ln2
∵点P（2，f（2））在y=x+b上，
∴b=2，
l：y=x-2ln2
（II）由（I）知，
，
当f′（x）=0时，x=
∴随x的变化，f（x），f′（x）的变化如下：

由表可知当x时，函数的最大值为2+
∴k＞2+