Question

若数列{a_n}满足前n项之和S_n=2a_n-4（n∈N^*），b_n+1=a_n+2b_n，且b₁=2．
（1）求证数列为等差数列；  （2）求{b_n}的前n项和T_n．

Answer

（1）当n=1时，a1=S1=2a1-4可求a1=4，当n≥2时，由an=Sn-Sn-1=2an-4-2an-1+4即an=2an-1，可得an，代入已知递推公式可证
（2）Tn=1×2+2×22+…+n•2n，考虑利用错位相减可求Tn
【解析】
（1）当n=1时，a1=S1=2a1-4
∴a1=4
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2an-4-2an-1+4
即an=2an-1
∴
∴an=2n+1
bn+1=2n+1+2bn
∴
又
∴
∴bn=n•2n（n∈N*）
（2）Tn=1×2+2×22+…+n•2n
2Tn=1×22+…+（n-1）•2n+n•2n+1
两式相减得  Tn=-2-22-…-2n+n•2n+1
==（n-1）•2n+1+2（n∈N*）．