Question

已知函数f（x）=e^x-ln（x+1）-1（x≥0），
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）若0≤y＜x，求证：e^x-y-1＞ln（x+1）-ln（y+1）

Answer

（1）先求导函数，确定函数在定义域内的单调性，从而可求函数f（x）的最小值；
（2）利用（1）的结论，当x＞0时，f（x）＞0，可得f（x-y）=ex-y-ln（x-y+1）-1＞0，从而ex-y-1＞ln（x-y+1）再证明ln（x-y+1）≥ln（x+1）-ln（y+1）即可．
【解析】
（1）f′（x）=，…（2分）
当x≥0时，，所以当x≥0时，f′（x）≥0，
则函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，
所以函数f（x）的最小值f（0）=0；…（5分）
（2）由（1）知，当x＞0时，f（x）＞0，
∵x＞y，
∴f（x-y）=ex-y-ln（x-y+1）-1＞0，ex-y-1＞ln（x-y+1）①…（7分）
∵，
∴ln（x-y+1）≥ln（x+1）-ln（y+1）②…（10分）
由①②得 ex-y-1＞ln（x+1）-ln（y+1）…（12分）