Question

设{a_k}为等差数列，公差为d，a_k＞0，k=1，2，…，2n+1．
（1）证明a＞a_2n-1•a_2n+1；
（2）记b_k=，试证lg b₁+lg b₂+…+lg b_n＞lg a_2n+1-lg a₁．

Answer

（1）欲证明：a＞a2n-1•a2n+1先作差：a-a2n-1•a2n+1=[a1+（2n-1）d]2-[a1+（2n-2）d][a1+2nd]最后化简得到d2＞0从而得到证明；
（2）由（1）知＞，结合放缩法即可证得，分别令n=1，2，…，n得到n个式子相乘即可证得结论．
【解析】
（1）证明：a-a2n-1•a2n+1
=[a1+（2n-1）d]2-[a1+（2n-2）d][a1+2nd]
=a12+（4n-2）a1d+（2n-1）2d2-[a12+（4n-2）a1d+（4n2-4n）d2]
=d2＞0   （d＞0）
∴a2n2＞a2n-1•a2n+1   …（5分）
（2）由（1）知＞
∴＞＞＞…＞…∴
∴（）2•（）2•（）2•…•（）2＞（）•（）•（）•…•=
即  b12•b22•b32•…•bn2＞…（11分）
∴lgb1+lg b2+…+lg bn＞lga2n+1-lga1 …（12分）