Question

已知椭圆的右准线l₁：x=2与x轴相交于点D，右焦点F到上顶点的距离为，点C（m，0）在线段OF上．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A、B两点，使得？若存在，求出l的斜率；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）．，由此能求出椭圆的方程．
（2）由F（1，0），假设存在直线l，设其方程为：y=k（x-1），代入，得（2k2+1）x2-4k2x+2k2-2=0，再由韦达定理结合题设条件能够求出存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A、B两点，使得，l的斜率k=．
【解析】
（1）．
∵，
∴c=1，
∴b=1，
∴椭圆的方程．
（2）由（1）知F（1，0），
假设存在直线l，设其方程为：y=k（x-1），
代入，得（2k2+1）x2-4k2x+2k2-2=0，
设A（x1，y1）B（x2，y2），，，
∴，
=，
∵，
而AB的方向向量为（1，k），
∴，
∴，
∴，k=．
故存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A、B两点，使得，l的斜率k=．