Question

已知{a_n}是各项为正数的等比数列，且a₁a₃+2a₂a₄+a₃a₅=100，4是a₂和a₄的一个等比中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若{a_n}的公比q∈（0，1），设b_n=a_n•log₂a_n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer

（1）根据an是各项为正数的等比数列，且a1a3+2a2a4+a3a5=100求出a2+a4=10，然后联合a2•a4=16，求出数列{an}的通项公式，
（2）当{an}的公比q∈（0，1），即q=，然后根据bn=an•log2an，把an代入可得an=（5-n）•25-n，求出Sn=4•24+3•23+2•22++（5-n）•25-n，再用•Sn得Sn=4•23+3•22+2•21+…+（5-n）•24-n，两式相减后即可得数列{bn}的前n项和Sn．
【解析】
（1）an是各项为正数的等比数列，且a1a3+2a2a4+a3a5=100∴a22+2a2a4+a42=100，（a2+a4）2=100即：a2+a4=10，
由或，
1当时，6舍去），an=a2qn-2=2n-1，
②当时，舍去），an=a2qn-2=25-n，
（2）若0＜q＜1，则：an=a2qn-2=25-nlog2an=5-nbn=anlog2an=（5-n）•25-n
∴Sn=4•24+3•23+2•22+…+（5-n）•25-n，
Sn=4•23+3•22+2•21+…+（5-n）•24-n，
两式相减得：Sn=4•24-（23+22+21++25-n）-（5-n）•24-n=，
Sn=96+（n-3）•25-n．