Question

已知函数f（x）=x²-2tx+1，x∈[2，5]有反函数，且函数f（x）的最大值为8，求实数t的值．

Answer

二次函数存在反函数，则它一定是区间[2，5]上的单调函数，函数f（x）=x2-2tx+1的对称轴为x=t，通过讨论对称轴与区间[2，5]的关系，可求函数的最大值，函数f（x）的最大值为8，解方程可求得t值
【解析】
因为函数有反函数，所以在定义域内是一一对应的函数f（x）=x2-2tx+1的对称轴为x=t，所以t≤2或t≥5
若t≤2，在区间[2，5]上函数是单调递增的，所以f（x）max=f（5）=25-10t+1=8，解得，符合       
若t≥5，在区间[2，5]上函数是单调递减的，所以f（x）max=f（2）=4-4t+1=8，解得，与t≥5矛盾，舍去 
综上所述，满足题意的实数t的值为