Question

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a_na_n+1=2ⁿ（n∈N^*）．
（1）证明：对任意正整数n，；并求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，若对任意正整数n，有3（1-λa_2n）≤a_2n•S_2n，求实数λ的最小值．

Answer

（1）根据anan+1=2n（n∈N*）．再写一式，两式相除可证对任意正整数n，；从而可知数列的偶数项、奇数项分别成等比数列，故可用分段函数形式表示数列{an}的通项公式；
（2）由题意可得∀k∈N*，a2k-1+a2k=3×2k-1，从而可表示3（1-λa2n）≤a2n•S2n，利用分离参数法，借助于函数的最值，可求参数的范围．
【解析】
（1）由∀n∈N*，anan+1=2n，an+1an+2=2n+1，知．…（3分）
故数列{a2k-1}，{a2k}都是公比为2的等比数列，…（4分）∵a1=1，a1a2=2，∴a2=2．…（5分）
知：∀k∈N*，a2k-1=a1×2k-1=2k-1，a2k=a2×2k-1=2k．…（6分）
所以数列{an}的通项公式为．…（7分）
或
（2）∀k∈N*，a2k-1+a2k=3×2k-1，…（8分）
则．…（10分）∀n∈N*，3（1-λa2n）≤a2n•S2n，等价于∀n∈N*，…（11分）
设，则，
故．…（13分）
所以实数λ的最小值为．…（14分）