Question

已知椭圆与双曲线有两个公共点，且椭圆m与双曲线n的离心率之和为2．
（1）求椭圆m的方程；
（2）过椭圆m上的动点P作互相垂直的两条直线l₁，l₂，l₁与圆O：x²+y²=a²+b²相交于点A，C，l₂与圆x∈[2，6]相交于点B，D，求四边形ABCD的面积的最小值．

Answer

（1）由题设条件得a=2，再由双曲线n的离心率为，知椭圆m的离心率．由此能求出椭圆m的方程．
（2）圆O的方程为x2+y2=7．若，则，椭圆m落在圆O内．设点P（x，y）到直线l1，l2的距离分别为d1，d2，则．由此入手能够求出四边形ABCD的面积的最小值．
【解析】
（1）若a＞2，则椭圆m与双曲线n有四个公共点；
若0＜a＜2，则椭圆m与双曲线n没有公共点；
若a=2，则椭圆m与双曲线n有公共点（±2，0）．
由题意，可得a=2．…（3分）
又双曲线n的离心率为，
则椭圆m的离心率．
所以椭圆m的方程为．…（6分）
（2）圆O的方程为x2+y2=7．
若，
则，
即椭圆m落在圆O内．
如图，设点P（x，y）到直线l1，l2的距离分别为d1，d2，
则，…（7分）
由l1⊥l2，得d12+d22=OP2=x2+y2．
四边形ABCD的面积…（9分）
由点P（x，y）在椭圆m上，
则．
又，得．…（11分）
当且仅当d1d2=0且y=0，
即P的坐标为（-2，0），
直线l1，l2的方程为y=0，
x=-2或P的坐标为（2，0），
直线l1，l2的方程为y=0，x=2时，．…（13分）
所以四边形ABCD的面积的最小值为．…（14分）