Question

已知函数f（x）=（x²-3x+3）e^x的定义域为[-2，t]，其中常数t＞-2，e为自然对数的底数．
（1）若函数f（x）是增函数，求实数t的取值范围；
（2）求证：f（t）＞13e^-2；
（3）设f'（x）表示函数f（x）的导函数，，求函数g（x）在区间（-2，t）内的零点个数．

Answer

（1）若函数f（x）是增函数，则必要导数f'（x）≥0，由此不等式即可解出实数t的取值范围；
（2）由题意求证f（t）＞13e-2，可解出函数f（x）在区间[-2，+∞）上的最小值，由此最小值与13e-2作比较即可证明此不等式；
（3）由题意先解出的解析式，由所得的解析式，及零点判定定理知，可研究此函数在区间（-2，t）两个端点值的符号及区间内函数最值的符号，由定理判断出零点个数即可
【解析】
（1）f（x）=（x2-3x+3）ex，f'（x）=（x2-x）ex=x（x-1）ex，…（1分）
f'（x）≥0⇔x≥1或x≤0，…（2分）
若函数f（x）是定义域[-2，t]上的增函数，知t的取值范围是（-2，0]．…（4分）
（2）由（1）知函数f（x）的增区间为[-2，0]与[1，+∞），减区间为[0，1]，
从而函数f（x）在区间[-2，+∞）上有唯一的极小值f（1）=e，…（6分）
但f（-2）=13e-2＜e（∵，
故函数f（x）在区间[-2，+∞）上的最小值为f（-2）=13e-2，…（8分）
因为t＞-2，所以f（t）＞f（-2）=13e-2．…（9分）
（3）
函数g（x）的图象是开口向上、对称轴为的抛物线，
且，，．
函数g（x）在区间（-2，t）内有两个零点；…（9分）
当-2＜t≤1时，g（-2）＞0，g（t）≤0，又由可知，函数g（x）在区间（-2，t）内只有一个零点；…（11分）
当t≥4时，g（-2）＜0，g（t）＞0，可知，函数g（x）在区间（-2，t）内只有一个零点．…（13分）
综上，当1＜t＜4时，函数g（x）在区间（-2，t）内有两个零点；
当-2＜t≤1或t≥4时，函数g（x）在区间（-2，t）内只有一个零点．（14分）