Question

如图所示，四棱锥P-ABCD底面是直角梯形，BA⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，PA⊥底面ABCD，E为PC的中点，PA=AD=AB=1．
（1）证明：EB∥平面PAD；
（2）证明：BE⊥平面PDC；
（3）求三棱锥B-PDC的体积V．

Answer

（1）取PD中点Q，连EQ，AQ，由已知条件及平行四边形的判定定理，可得四边形ABEQ是平行四边形，进而得到BE∥AQ，进而由线面平行的判定定理得到EB∥平面PAD；
（2）由已知中PA⊥底面ABCD，由线面垂直的性质可得PA⊥CD，结合CD⊥AD，和线面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD，进而由线面垂直性质得到CD⊥AQ，由三线合一得到AQ⊥PD，进而根据线面垂直的判定定理及第二判定定理得到BE⊥平面PDC；
（3）由等体积法可得三棱锥B-PDC的体积等于三棱锥P-BDC，求出底面△BDC及高PA的值，代入棱锥体积公式，即可得到答案．
解（1）证明：取PD中点Q，连EQ，AQ，则…（1分）
…（2分）⇒四边形ABEQ是平行四边形⇒BE∥AQ…（3分）
…（5分）
（2）证明：PA⊥CD，
又∵CD⊥AD，PA∩AD=A
∴CD⊥平面PAD
又∵AQ⊂平面PAD
∴AQ⊥CD，
又∵PA=AD，Q为PD的中点
∴AQ⊥PD，
又∵PD∩CD=D
．…（10分）
（3）…（11分）
．…（13分）