Question

定义在R上的函数f （x）的图象关于点（-，0）对称，且满足f （x）=-f （x+），f （1）=1，f （0）=-2，则f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2010）的值为=    ．

Answer

根据题意得f （x+3）=f[（x+）+]=-f （x+）=f （x）即函数的周期为3．由函数f （x）的图象关于点（-，0）对称得到f （--x）=f （x+），所以可得函数f（x）是偶函数．结合奇偶性、周期性可得答案．
【解析】
由f （x）=-f （x+）得f （x+3）=f[（x+）+]=-f （x+）=f （x）
所以可得f （x）是最小正周期T=3的周期函数；
由f （x）的图象关于点（，0）对称，知（x，y）的对称点是（--x，-y）．
即若y=f （x），则必-y=f （--x），或y=-f （--x）．
而已知f （x）=-f （x+），故f （--x）=f （x+），
今以x代x+，得f （-x）=f （x），故知f （x）又是R上的偶函数．
于是有：f （1）=f （-1）=1；f （2）=f （2-3）=f （-1）=1；f （3）=f （0+3）=f （0）=-2；
∴f （1）+f （2）+f （3）=0，以下每连续3项之和为0．
而2010=3×670，于是f （2010）=0；
故答案为0．