Question

设f（x）=sinπx是[0，1]上的函数，且定义f₁（x）=f（x），…，f_n（x）=f（f_n-1（x）），n∈N^*，则满足f_n（x）=x，x∈[0，1]的x的个数是（ ）
A．2n
B．2（2n-1）
C．2n²
D．2ⁿ

Answer

根据已知条件和递推关系，先求出n=1满足fn（x）=x，x∈[0，1]的x的个数；n=2满足fn（x）=x，x∈[0，1]的x的个数；然后总结归纳其中的规律，
【解析】
显然，y=f1（x）与y=x的图象有2=21个交点．
接下来考虑f2（x），在x属于[0，]时，f1（x）从0单调上升到1，于是f2（x）从0上升到1再下降到0；
当x属于[，1]时，又是这样一个周期．你近似画出它的图象（只要增减性画对）就知道它会上升到1，下降到0，再上升到1，再下降到0，这样和y=x有4=22个交点．
接下来，你再看f3（x），就会发现周期又缩短了一半．它有4次上升下降，与直线y=x有8=23个交点．
归纳可以得出结论：fn（x）=x，x∈[0，1]的x的个数是：2n．
故选D．