Question

已知F₁（-2，0），F₂（2，0），点P满足|PF₁|-|PF₂|=2，记点P的轨迹为E；
（Ⅰ）求轨迹E的方程；
（Ⅱ）若直线l过点F₂且与轨迹E交于P、Q两点；
①设点M（m，0），问：是否存在实数m，使得直线l绕点F₂无论怎样转动，都有成立？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由；
②过P、Q作直线的垂线PA、QB，垂足分别为A、B，记，求λ的取值范围．

Answer

（Ⅰ）由|PF1|-|PF2|=2＜|F1F2|知，点P的轨迹E是以F1、F2为焦点的双曲线右支，从而可求轨迹E的方程
（Ⅱ）①斜率存在时，假设直线方程与双曲线方程联立．假设存在实数m，使得，故得3（1-m2）+k2（m2-4m-5）=0对任意的k2＞3恒成立，从而可求m的值；当直线l的斜率不存在时，知结论也成立．
②利用双曲线定义，进而表示出，根据k2＞3，可求，注意到直线的斜率不存在时，，故．
【解析】
（Ⅰ）由|PF1|-|PF2|=2＜|F1F2|知，点P的轨迹E是以F1、F2为焦点的双曲线右支，由c=2，2a=2，∴b2=3，故轨迹E的方程为．…（3分）
（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设直线l方程为y=k（x-2），与双曲线方程联立消y得（k2-3）x2-4k2x+4k2+3=0，设P（x1，y1）、Q（x2，y2），

∴，解得k2＞3
（i）∵=（x1-m）（x2-m）+k2（x1-2）（x2-2）
=（k2+1）x1x2-（2k2+m）（x1+x2）+m2+4k2
==…（7分）
假设存在实数m，使得，
故得3（1-m2）+k2（m2-4m-5）=0对任意的k2＞3恒成立，
∴，解得m=-1．∴当m=-1时，．
当直线l的斜率不存在时，由P（2，3），Q（2，-3）及M（-1，0）知结论也成立，
综上，存在m=-1，使得．
（ii）∵a=1，c=2，∴直线是双曲线的右准线，
由双曲线定义得：，，
∴==．
∵k2＞3，∴，∴
注意到直线的斜率不存在时，，综上，．