Question

已知a_n≥0，n∈N^*，关于x的一元二次方程x²-a_nx-1=0的两实数根α_n、β_n满足  α_n＞β_n，且a₁=0，a_n+1=α_n-β_n．
（1）求数列{α_n}和{β_n}的通项公式；
（2）求的值．

Answer

（1）由于x的一元二次方程x2-anx-1=0的两实数根αn、βn，利用韦达定理可得αn+βn=an，αnβn=-1，利用an+1=αn-βn，进一步可表示an+1．从而可得{an2}是一个以0为首项，4为公差的等差数列，故可求数列{αn}的通项公式；再借助于an+1=αn-βnαn+βn=an，可求{βn}的通项公式；
（2）将数列{αn}和{βn}的通项公式代入，化简后利用极限的运算法则可解．
【解析】
（1）∵αn＞βn，且a1=0，an+1=αn-βn，
∴，
∴{an2}是一个以0为首项，4为公差的等差数列．∴，
∴．
（2）=．