Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+2ⁿ（n∈N^*）．
（1）证明数列；
（2）求等差数列{b_n}（n∈N^*），使b₁C_n+b₂C_n¹+b₃C_n²+…+b_n+1C_nⁿ=a_n+1对n∈N^*都成立；
（3）令c_n=nb_n（n∈N^*），是否存在正常数M，使＜M对n∈N^*恒成立，并证明你的结论．

Answer

（1）根据数列递推式an+1=2an+2n，可得从而得证，进而可求数列的通项；
（2）设等差数列{bn}的首项为b1，公差为d，则bn=b1+（n-1）d（n∈N*），从而有b1+bn+1=b2+bn=b3+bn-1=…=bn+1+b1．
条件 b1Cn+b2Cn1+b3Cn2+…+bn+1Cnn=an+1，利用加法交换律把此等式变为bn+1Cnn+bnCnn-1+bn-1Cnn-2+…+b1Cn=an+1，
两式相加，利用组合数的性质Cnm=Cnn-m化简，即可求得满足题设的等差数列；
（3）可得结论存在正常数M（只要M＞6即可）使得对n∈N*恒成立，先表示出
，进而利用错位相减法求和，从而可得结论．
【解析】
（1）∵a1=1，an+1=2an+2n（n∈N*），∴．…（3分）
∴．…（5分）
∴an=n•2n-1（n∈N*）．…（6分）
（2）设等差数列{bn}的首项为b1，公差为d，则bn=b1+（n-1）d（n∈N*）．…（7分）
考察等差数列，易知：b1+bn+1=b2+bn=b3+bn-1=…=bn+1+b1．
又 b1Cn+b2Cn1+b3Cn2+…+bn+1Cnn=an+1，利用加法交换律把此等式变为bn+1Cnn+bnCnn-1+bn-1Cnn-2+…+b1Cn=an+1，
两式相加，利用组合数的性质Cnm=Cnn-m化简，得（b1+bn+1）（Cn+Cn1+…+Cnn）=2an+1，即b1+bn+1=2n+2．…（10分）
再分别令n=1，n=2，得，进一步可得．…（11分）
因此，满足题设的等差数列{bn}的通项公式为bn=2n-1（n∈N*）．…（12分）
（3）结论：
存在正常数M（只要M＞6即可）使得对n∈N*恒成立．（13分）
证明 由（2）知，bn=2n-1，于是，cn=n（2n-1），．…（14分）
记，则，．此两式相差，得．进一步有．…（18分）
所以，当且仅当正常数M＞6时，对n∈N*恒成立．