Question

斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁，已知侧面BB₁C₁C与底面ABC垂直且∠BCA=90°，∠B₁BC=60°，BC=BB₁=2，若二面角A-B₁B-C为30°
（1）求AB₁与平面BB₁C₁C所成角的正切值；
（2）在平面AA₁B₁B内找一点P，使三棱锥P-BB₁C为正三棱锥，并求P到平面BB₁C距离．

Answer

（1）由侧面BB1C1C与底面ABC垂直且∠BCA=90°知AC⊥平面BB1C1C，则有∠AB1C为AB1与平面BB1C1C所成的角，连接B1C，则∠AB1C为AB1与平面BB1C1C所成的角，在Rt△ACB1中可求得tan∠∠AB1C．
（2）在AD上取点P，使AP=2PD，则P点为所求，在CD上取点O，使CO=2OD，连PO，则易知三棱锥P-BB1C为正三棱锥，故可求．
【解析】
（1）由侧面BB1C1C与底面ABC垂直且∠BCA=90°知AC⊥平面BB1C1C
取BB1的中点D，AC⊥平面BB1C1C
∴AC⊥BB1
∴BB1⊥平面ADC
∴AD⊥BB1
∴∠CDA为二面角A-BB1-C的平面角，∴∠CDA=30°，
∵CD=，∴AC=1
连接B1C，则∠AB1C为AB1与平面BB1C1C所成的角，
在Rt△ACB1中tan∠AB1C=，
（2）在AD上取点P，使AP=2PD，则P点为所求，
在CD上取点O，使CO=2OD，连PO，，
则PO∥AC，且PO=，
∵AO⊥平面BB1C，
∴PO⊥平面BB1C 且 BB1C为等边三角形，
∴三棱锥P-BB1C为正三棱锥，
且P到平面BB1C的距离为PO，PO=