Question

已知等差数列{b_n}的前n项和为T_n，且T₄=4，b₅=6．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）若正整数n₁，n₂，…，n_t，…满足5＜n₁＜n₂＜…＜n_t，…且b₃，b₅，，，…，，…成等比数列，求数列{n_t}的通项公式（t是正整数）；
（3）给出命题：在公比不等于1的等比数列{a_n}中，前n项和为S_n，若a_m，a_m+2，a_m+1成等差数列，则S_m，S_m+2，S_m+1也成等差数列．试判断此命题的真假，并证明你的结论．

Answer

（1）本题是对数列的基本量的考查，根据通项公式、前n项和公式公式，算出公差和首项，写出通项公式．
（2）根据等比数列中前两项求出公比，写出通项=b5•3t=2•3t+1 ，又是{bn}中的第nt项，又可表示成bnt=2nt-4．根据这两式的相等性写出{nt}的通项．
（3）由am，am+2，am+1成等差数列，求出公比q=-再利用等差数列定义判断Sm，Sm+2，Sm+1是否成等差数列．

【解析】
（1）由已知，，∴d=2，b1=-2，∴bn=b1+（n-1）d=2n-4．
（2）b3=2，且b3，b5，，，…，，…成等比数列，所以公比q==3，所以bnt=b5•3t=2•3t+1，t∈N*．
又bnt=2nt-4，所以2nt-4=2•3t+1，所以nt=3t+1+2，t∈N*．
 （3）此命题为真命题．
若am，am+2，am+1成等差数列，即a1q m-1+a1qm=2a1q m+1，移向化简整理得qm-1（2q2-q-1）=0，q=-，
Sm+2-Sm=a m+1+a m+2=a m+2 （+1）=-a m+2．Sm+1-Sm+2=-a m+2．∴Sm，Sm+2，Sm+1也成等差数列．