Question

设函数f（x）=x|x|+bx+c（b，c∈R），则下列命题中正确的是（ ）
A．“b≥0”是“函数y=f（x）在R上单调递增”的必要非充分条件
B．“b＜0，c＜0”是“方程f（x）=0有两个负根”的充分非必要条件
C．“c=0”是“函数y=f（x）为奇函数”的充要条件
D．“c＞0”是“不等式对任意x∈R⁺恒成立”的既不充分也不必要条件

Answer

本选择题利用直接法解决．由于“c=0”与“函数y=f（x）为奇函数”可以互相推出，即“c=0”是“函数y=f（x）为奇函数”的充要条件，故可直接得出正确答案了．
【解析】
当c=0时，函数f（x）=x|x|+bx，
∴函数f（-x）=-x|-x|+b-x=-（x|x|+bx）=-f（x）
∴函数y=f（x）为奇函数；
反之，当函数y=f（x）为奇函数时，
f（-x）=-f（x）
∴-x|-x|-bx=-（x|x|+bx）
∴2bx=0⇒b=0．
∴“c=0”是“函数y=f（x）为奇函数”的充要条件
故选C．