Question

设函数f（x）=x²+1，若关于x的不等式f（）+4f（m）≤4m²f（x）+f（x-1）对任意x∈[，+∞）恒成立，则实数m的取值范围是    ．

Answer

先把原不等式整理后转化为g（x）=（-+4m2+1）x2-2x-3≥0对任意x∈[，+∞）恒成立，再利用二次函数恒成立的求解方法即可求实数m的取值范围．
【解析】
原不等式不等式f（）+4f（m）≤4m2f（x）+f（x-1）整理得g（x）=（-+4m2+1）x2-2x-3≥0，
即可以转化为g（x）=g（x）=（-+4m2+1）x2-2x-3≥0对任意x∈[，+∞）恒成立．
由于函数g（x）开口向上，对称轴小于等于，所以在x∈[，+∞）上递增．
故只须g（）≥0⇒+4m2-≥0⇒12（m2）2-5m2-3≥0⇒m2≥或m2≤-⇒m≥或m≤-．
故答案为：（-∞，-]∪[，+∞）．