Question

已知数列{a_n}满足递推关系式：a_n+2a_n-a_n+1²=tⁿ（t-1），（n∈N^*），且a₁=1，a₂=t．（t为常数，且t＞1）
（1）求a₃；
（2）求证：{a_n}满足关系式a_n+2-2ta_n+1+ta_n=0，（n∈N^*；
（3）求证：a_n+1＞a_n≥1（n∈N^*）．

Answer

（1）由a3a1-a22=t（t-1）和a1=1，a2=t，能求出a3．
（2）由an+2an-an+12=tn（t-1），（n∈N*）得an+1an-1-an2=tn-1（t-1）（n≥2），所以an+2an-an+12=tan+1an-1-tan2，，由此能够证明an+2-2tan+1+tan=0．
（3）由t＞1知：an+2an＞an+12≥0，所以an+2an＞0，故an+2与an同号，由此能够证明an+1＞an≥1．
【解析】
（1）由a3a1-a22=t（t-1）和a1=1，a2=t
∴a3=2t2-t…（4分）
（2）由an+2an-an+12=tn（t-1），（n∈N*）
得an+1an-1-an2=tn-1（t-1）（n≥2），
再由上两式相除得到：∴an+2an-an+12=tan+1an-1-tan2
∴an（an+2+tan）=an+1（an+1+tan-1）
∴
即为常数列
∴
而a3+ta1=2t2∴．
即an+2-2tan+1+tan=0．…（9分）
（3）由t＞1知：an+2an＞an+12≥0
∴an+2an＞0
故an+2与an同号
而a1=1＞0，a2=t＞0．
故an＞0．
又
即
∴
∴an+1＞an
∴an≥1
∴an+1＞an≥1．…（14分）