Question

一列火车从重庆驶往北京，沿途有n个车站（包括起点站重庆和终点站北京）．车上有一邮政车厢，每停靠一站便要卸下火车已经过的各站发往该站的邮袋各1个，同时又要装上该站发往以后各站的邮袋各1个，设从第k站出发时，邮政车厢内共有邮袋a_k个（k=1，2，…，n）．
（I）求数列{a_k}的通项公式；
（II）当k为何值时，a_k的值最大，求出a_k的最大值．

Answer

（I）a1=n-1，由题意知ak=ak-1-（k-1）+（n-k），所以ak-ak-1=（n+1）-2k（k≥2）．由此能求出数列{ak}的通项公式．
（II），再由n的奇偶性分类讨论求解ak的最大值．
【解析】
（I）a1=n-1，考察相邻两站ak，ak-1之间的关系，
由题意知ak=ak-1-（k-1）+（n-k），
∴ak-ak-1=（n+1）-2k（k≥2）．
依次让k取2，3，4，…，k得k-1个等式，
将这k-1个等式相加，得
ak=nk-k2（n，k∈N+，1≤k≤n）．
（II），
当n为偶数时，
取k=，ak取得最大值；
当n为奇数时，取k=或，
ak取得最大值．