Question

直线y=mx+1与椭圆ax²+y²=2交于A，B两点，以OA，OB为邻边作平行四边形OAPB（O为坐标原点）．
（1）若a=2，求点P的轨迹方程；
（2）若a，m满足a+2m²=1，求平行四边形OAPB的面积函数S（a）的值域．

Answer

（1）直线y=mx+1过定点（0，1），设A（x1，y1），B（x2，y2），则OP的中点M为，且有2x12+y12=2，2x22+y22=2，由此能求出点P的轨迹方程．
（2）由，得（a+m2）x2+2mx-1=0，所以，再由点O到AB的距离，能求出S（a）的值域．
【解析】
（1）直线y=mx+1过定点（0，1），
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则OP的中点M为，
且有2x12+y12=2，2x22+y22=2，
以上两式相减，得，
即kAB•kOP=-2，
∴，
∴2x2+y2-2y=0，
点P的轨迹方程为2x2+（y-1）2=1（除去原点）．
（2）由，
得（a+m2）x2+2mx-1=0，
∴，
又点O到AB的距离，
∴=．
∵a+2m2=1，
∴0＜a＜1，
∴S（a）的值域为（2，4）．