Question

已知双曲线a_n-1y²-a_nx²=a_n-1a_n的一个焦点为，且c₁=6，一条渐近线方程为，其中{a_n}是以4为首项的正数数列，记T_n=a₁c₁+a₂c₂+…+a_nc_n（n∈N^*）．
（1）求数列{c_n}的通项公式；
（2）数列{c_n}的前n项和为S_n，求；
（3）若不等式对一切自然数n（n∈N^*）恒成立，求实数x的取值范围．

Answer

（1）由双曲线方程得：Cn=an+an+1，由一条渐进线方程为 和an是以4为首项的正项数列得到an的通项公式化简，进而推出数列Cn的通项公式；
（2）分别计算Tn=a1c1+a2c2+…+ancn（n∈N*），Sn，再求；
（3）先把Cn的通项公式代入到不等式左边，错位相减得 ，把S代入到不等式左边得到要使不等式对一切自然数n恒成立 ，即要loga（2x+1）≥0，讨论a的取值得到x的范围．
【解析】
（1）由双曲线方程得：Cn=an+an+1，又因为一条渐近线 ．
∴，∴an=4•2n+1=2n+1
∴Cn=3•2n
（2）Sn=6（2n-1），Tn=8（22n-1），∴
（3）令S=++…+=++…+
由错位相减得
故原不等式 恒成立
∴loga（2x+1）≥0
（i）当a＞1时，2x+1≥1⇒x≥0
（ii）当
∴