Question

已知a₁，a₂，a₃，…，a₃₀是首项为1，公比为2的等比数列．对于满足0＜k＜30的整数k，数列b₁，b₂，b₃，…，b₃₀由确定．记C=a₁b₁+a₂b₂+…+a₃₀b₃₀．
（Ⅰ）当k=1时，求C的值；
（Ⅱ）求C最小时k的值．

Answer

（Ⅰ）把k=1代入得然后列举出C的项利用等比数列的求和公式求出C即可；
（Ⅱ）写出C=a1b1+a2b2+…+akbk+…+a30b30代入得到前30-k和k项，分别利用等比数列的求和公式化简，并利用基本不等式得到：，当且仅当230-k=2k时取等号，求出k即可．
【解析】
（Ⅰ）当k=1时，
∴C=a1b1+a2b2+…+a30b30=a1a2+a2a3+…+arar+1+…+a29a30+a30a1
=1×2+2×22+…+2r-1×2r+…+228×229+229×1
=2+23++22r-1++257+229
=
（Ⅱ）C=a1b1+a2b2+…+akbk+…+a30b30
=1×2k+2×2k+1+…+2k-1×22k-1+…+229-k×229+230-k×1+231-k×2+…+229×2k-1
=+
=+
=
=
=
当且仅当230-k=2k，即k=15时，C最小．