Question

已知P（2，0），对于抛物线y²=mx上任何一点Q，|PQ|≥2，则m的取值范围是（ ）
A．（0，4]
B．（-∞，0）∪（0，4]
C．[4，+∞）
D．（-∞，0）∪[4，+∞）

Answer

由题意可得：只需|PQ|min≥2即可．再分当m＜0时与当m＞0时进行讨论，根据抛物线的性质可得当m＜0时恒有|PQ|≥2成立，当m＞0时，设Q（ ，t），由|PQ|≥2得t2-4m+m2≥0恒成立，即t2≥4m-m2恒成立，则有4m-m2≤0，进而得到答案．
【解析】
因为对于抛物线y2=mx上任何一点Q，|PQ|≥2，
所以只需|PQ|min≥2即可．
当m＜0时，抛物线y2=mx的开口方向向左，
所以此时|PQ|min=|OP|=2，
所以m＜0时，对于抛物线y2=mx上任何一点Q，恒有|PQ|≥2成立．
当m＞0时，抛物线y2=mx的开口方向向右，
设Q（ ，t），由|PQ|≥2得（ -2）2+t2≥4恒成立，整理可得：t2（t2-4m+m2）≥0恒成立，
即有t2-4m+m2≥0恒成立，
所以t2≥4m-m2恒成立，则有4m-m2≤0，解得：m≥4．
由以上可得：m的取值范围是 （-∞，0）或者[4，+∞）．
故选D．