Question

设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列命题：（1）若m⊥α，n∥α，则m⊥n．（2）若m⊥n，n∥α，则m⊥α．（3）若m⊥α，α∥β，则m⊥β．（4）若m⊥α，m⊥β，则α∥β．其中正确命题的序号是    （写出所有正确命题的序号）

Answer

由题意，（1）若m⊥α，n∥α，则m⊥n．此命题由线面垂直判断线线垂直，由性质判断即可
（2）若m⊥n，n∥α，则m⊥α．此命题由线线垂直，线面平行判断线面垂直，由线面垂直的判定定理判断即可；
（3）若m⊥α，α∥β，则m⊥β．此命题由线面垂直与面面平行判断线面垂直，由线面垂直的条件判断即可；
（4）若m⊥α，m⊥β，则α∥β． 此命题由线面垂直判断面面平行，由面面平行的条件判断即可．
【解析】
（1）若m⊥α，n∥α，则m⊥n．此命题正确，因为n∥α，知在面内必存在一线与n平行，由m⊥α知，此线与m垂直，故可得m⊥n；
（2）若m⊥n，n∥α，则m⊥α．此命题错误，因为m⊥n，n∥α只能得出m与面内有些线垂直，不能得出它垂直于面内任意一条直线，故不正确；
（3）若m⊥α，α∥β，则m⊥β．此命题正确，因为m⊥α，α∥β，一条直线垂直于两平行平面中的一个，必垂直于另一个；
（4）若m⊥α，m⊥β，则α∥β．此命题正确，因为m⊥α，m⊥β，而垂直于同一直线的两个平面必平行故可得结论；
综上（1）（3）（4）是正确命题
故答案为（1）（3）（4）