Question

已知四棱锥P-ABCD．四边形ABCD是边长为1的正方形，PA⊥面ABCD．
（Ⅰ）求证：PC⊥DB．
（Ⅱ）试问：当AP的长度为多少时，二面角D-PC-A的大小为60°？

Answer

（方法1）以A为原点，AD所在的直线为x轴，AB所在的直线为y轴，以四边形ABCD的边长为单位长度建立空间直角坐标系．设P（0，0，h）．
（Ⅰ） 求出的坐标，通过证明的数量积为0来证明PC⊥DB
（Ⅱ）分别求出面CPA，面CPD的一个法向量，利用两法向量夹角与二面角的大小关系，通过解关于h的方程即可．
（方法2）（ I ）由已知，PC在面ABCD内的射影是AC．且有AC⊥BD，由三垂线定理即可证明 PC⊥DB
（II） 设AC、BD交于E．在面CPA内，作EF⊥CP于F，连接DF，由三垂线定理得DF⊥CP．得出∠DEF就是二面角A-PD′-C的平面角，利用解三角形知识求出AP．
【解析】
（方法1）以A为原点，AD所在的直线为x轴，AB所在的直线为y轴，以四边形ABCD的边长为单位长度建立空间直角坐标系．设P（0，0，h）．
（I），，，所以PC⊥DB．（4′）
（II）∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥DB．又PC⊥DB，
∴DB⊥面CPA，所以面CPA的一个法向量是．（6′）
，．
设面CPD的一个法向量为，
则有，．所以．（8′）．（10′）
由于二面角D-PC-A的平面角与相等或互补，∴，
∴h=1．即当AP的长度为1时，二面角D-PC-A的大小为60°（12′）
（方法2）（I）∵PA⊥面ABCD∴PC在面ABCD内的射影是AC．四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，由三垂线定理得PC⊥BD．（4′）
（II）设AC、BD交于E．在面CPA内，作EF⊥CP于F，连接DF．
∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥DB．
又PC⊥DB，∴DB⊥面CPA，EF是DF在面CPA上的射影，由三垂线定理得DF⊥CP．∠DEF就是二面角A-PD′-C的平面角（8′）．
由△CFE～△CAP，得，
∴．
解得AP=1．即当AP的长度为1时，二面角D-PC-A的大小为60°．（12′）