Question

已知函数f（x）=kx³-3（k+1）x²-2k²+4，若f（x）的单调减区间为（0，4）．
（1）求k的值；
（2）对任意的t∈[-1，1]，关于x的方程2x²+5x+a=f（t）总有实根，求实数a的取值范围．

Answer

（1）先求导函数，利用f（x）的单调减区间为（0，4），可求k的值；
（2）分别依据三次函数与二次函数的最值，从而可建立不等式，进而可求实数a的取值范围．
【解析】
（1）由题意，f′（x）=3kx2-6（k+1）x
∵f′（4）=0，∴k=1
（2）f′（t）=3t2-12t
∴-1＜t＜0，f′（t）＞0，0＜t＜1，f′（t）＜0
∵f（-1）=-5，f（1）=-3
∴f（t）≥-5
∵2x2+5x+a
∴
∴